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勾股定理逆应用证明

来源:纯青应用网 2024-07-11 09:05:44

勾股定理是初中数学中最基本的定理之一,它的应用范围非常广泛www.liemaofaka.com而,我们也以从另一个角度来考虑勾股定理,即逆向维,从而得出一些有的结论。本文将从逆向维的角度出发,探讨勾股定理的逆应用证明

勾股定理逆应用证明(1)

一、勾股定理的逆向

  勾股定理是在直角三角形中,斜边的平方于直角边的平方和纯_青_应_用_网。也就是说,如果一条直角边的长度为a,另一条直角边的长度为b,斜边的长度为c,则有:

  c² = a² + b²

  这是勾股定理的准表述。但是,我们也以从逆向维的角度出发,即如果我们已知直角边的长度a和b,以及斜边的长度c,否推导出这个三角形的形状呢?

勾股定理逆应用证明(2)

二、勾股定理的逆应用证明

  我们以用勾股定理的逆向维来证明一个有的结论:如果在一个平面直角坐系中,给定一个点A(x1,y1)和一个点B(x2,y2),以及它们之间的距离d,则以构造一个以A和B为直角顶点的直角三角形,使得第三个顶点C(x3,y3)到A和B的距离分别为a和b,斜边的长度为c。

  我们以先构造一个以A和B为两个顶点的矩形,后在矩形中心O处一条与AB垂直的直线,交AB于M点FcU于矩形的对角线AC和BD相,且AM和BM也相,所以MC和MD也相。于是我们以构造一个以M为圆心,以MC为半径的圆,与矩形相交于C和D两点。于MC和MD相,所以CD也相,即C和D到AB的距离相纯~青~应~用~网

接下来,我们以证明三角形ABC是一个直角三角形。于OM是AB的中垂线,所以AM² = AB²/4 - OM²,BM² = AB²/4 - OM²。又因为MC² = OM² + CM²,MD² = OM² + DM²,所以MC² - MD² = CM² - DM² = CD²liemaofaka.com。于是我们有:

  a² = AM² + CM² = AB²/4 - OM² + MC²

  b² = BM² + DM² = AB²/4 - OM² + MD²

  c² = CD² = MC² - MD²

  将上式相加,得到:

  a² + b² + c² = AB²/2 + MC² + MD²

  而AB² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²,MC² = (x2 - x1)²/4 + (y2 - y1)²/4 + d²/4,MD² = (x2 - x1)²/4 + (y2 - y1)²/4 - d²/4。代入上式,得到:

a² + b² + c² = 2d² + (x2 - x1)²/2 + (y2 - y1)²/2

  于是我们以求出c²,后再利用勾股定理求出c,得到所要的结论。

三、结论

  从逆向维的角度出发,我们证明了一个有的结论:在一个平面直角坐系中,给定一个点A(x1,y1)和一个点B(x2,y2),以及它们之间的距离d,则以构造一个以A和B为直角顶点的直角三角形,使得第三个顶点C(x3,y3)到A和B的距离分别为a和b,斜边的长度为c纯青应用网www.liemaofaka.com。这个结论以用于实际问题的求解,例如在地图上求两个城市之间的距离

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